การคูณ คือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่ง ทำให้เกิดการเพิ่มหรือลดจำนวนจำนวนหนึ่งเป็นอัตราการคูณเป็นหนึ่งในสี่ของการดำเนินการพื้นฐานของเลขคณิตมูลฐาน
ตัวอย่างสถานการณ์ที่แสดงถึงความหมายของการคูณ

1. การคูณในแง่ของการบวกซ้ำ ๆ กันของจำนวนที่เท่ากัน หรือการรวมกันของกลุ่มที่เท่ากัน เช่น
3 + 3 + 3 + 3 = 4 ×3 หรือ 4 กลุ่มของ 3 มีนักเรียน 3 กลุ่ม กลุ่มละ 5 คน
ดังนั้นมีนักเรียน 3×5 = 15 คน
2. การคูณในแง่ของอัตรา เช่น
รถยนต์แล่นเป็นเวลา 4 ชั่วโมงด้วยอัตราเร็ว 60 กิโลเมตรต่อชั่วโมงแล้ว รถยนต์จะแล่นได้ระยะทางทั้งหมด 4×60 = 240 กิโลเมตร ถ้าสมุดราคาเล่มละ 8 บาทแล้ว สมุด 3 เล่มจะราคา 3×8 = 24 บาท
3. การคูณในแง่ของการเปรียบเทียบว่าเป็นกี่เท่า เช่น
ตาลมีตุ๊กตาหมี 4 ตัว ติ๋วมีตุ๊กตาหมีเป็น 3 เท่าของตาล ดังนั้นติ๋วมีตุ๊กตาหมี 3×4 = 12 ตัว
4. การคูณในแง่ของการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากโดยการนับตารางหน่วย เช่น
กำหนดให้ 1 ช่อง แทนพื้นที่ 1 ตารางหน่วย รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ประกอบด้วยตารางที่มี 3 แถว
แต่ละแถวมี 7 ช่อง จะมีพื้นที่ 3×7 = 21 ตารางหน่วย

5. การคูณในแง่ของการหาจำนวนแบบของการจับคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เช่นถ้ามีเสื้อ 2 ตัว กับ กางเกง 3 ตัว จะสามารถจับคู่เสื้อกับกางเกงแบบต่าง ๆ กันได้ทั้งหมด 2×3 = 6 แบบที่มาhttps://sites.google.com/site/krumiw/bth-thi-6-kar/1-khwam-hmay-khxng-kar-khun-วันที่3กันยายน 2556                                    

ปริมาตรพีระมิด

ปริมาตรพีระมิด

พีระมิด (Pyramid) คือ ทรงสามมิติที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใดๆ มียอดแหลมซึ่งไม่อยู่บนระนาบเดียวกับฐาน และหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกันที่ยอดแหลมนั้น

นิยมเรียกชื่อพีระมิดตามลักษณะของฐาน เช่น พีระมิดฐานสามเหลี่ยม พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้า พีระมิดฐานหกเหลี่ยมด้านเท่า เป็น

พีระมิดแบ่งออกเป็น 2 ลักษณะ คือ พีระมิดตรง และ พีระมิดเอียง

พีระมิดตรง หมายถึง พีระมิดที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่าทุกมุม มีสันยาวเท่ากันทุกเส้น จะมีสูงเอียงทุกเส้นยาวเท่ากัน และส่วนสูงตั้งฉากกับฐานที่จุดซึ่งอยู่ห่างจากจุดยอดมุมของรูปเหลี่ยมที่เป็นฐานมีระยะเท่ากัน มีหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ส่วนกรณีที่มีสันทุกสันยาวไม่เท่ากัน สูงเอียงทุกเส้นยาวไม่เท่ากัน เรียกว่า พีระมิดเอียง

พื้นที่ผิวของพีระมิด

พื้นที่ของหน้าทุกหน้าของพีระมิดรวมกัน เรียกว่า พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด และพื้นที่ข้างของพีระมิดรวมกับพื้นที่ฐานของพีระมิด เรียกว่า พื้นที่ผิวของพีระมิด

ปริมาตรพีระมิด

ตัวอย่าง 1 : จงหาปริมาตรของพีระมิดตรงฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่มีด้านฐานยาวด้านละ 22 เซนติเมตร ส่วนสูง 15 เซนติเมตร

วิธีทำ   สูตร ปริมาตรของพีระมิด =  1/3  × พื้นที่ฐาน × สูง

ได้ปริมาตรของพีระมิดนี้ =   1/3  × ( ด้าน × ด้าน ) × สูง

=    1/3  × ( 22 × 22 ) × 15

=    22  × 22  ×  5

=  2,420  ลูกบาศก์เซนติเมตร

ตอบ 2,420 ลบ.ซม.http://www.thaistudyfocus.com/%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C/%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B8%94/    วันที่20 สิงหาคม 2556

เซต

เซต 

ใช้แทนกลุ่มของคน,สัตว์,สิ่งของ หรือสิ่งที่เราสนใจ เราใช้เครื่องหมายปีกกา“{ } ”
แสดงความเป็นเซต และสิ่งที่อยู่ภายในปีกกา  เราเรียกสมาชิกของเซต

<!--[if !vml]--><!--[endif]-->

เซตที่เท่ากัน 
เซต 2 เซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อจำนวนสมาชิกและสมาชิกของทั้ง 2 เซต เหมือนกันทุกตัว
เช่น A={1,2,3}          B={1,2,3}     จะได้ A=B

เซตที่เทียบเท่ากัน  <!--[if !vml]-->

เซต 2 เซตจะเทียบเท่ากันก็ต่อเมื่อ จำนวนสมาชิกของทั้ง 2 เซต เท่ากัน
เช่น  A={a,b,c}   ,     B={1,2,3}
จำนวนสมาชิกของ A= จำนวนสมาชิกของ B= 3 ตัว
n( A ) = n ( B ) = 3
ดังนั้น A  เทียบเท่ากับเซต B

เซตจำกัด 
เซตใดๆเป็นเซตจำกัดก็ต่อเมื่อ เรารู้จำนวนสมาชิกของเซตนั้นแน่นอน
เช่น  A={1,2,3,…,100}  จะได้ n(A)=100        A เป็นเซตจำกัด
เซตอนันต์ 
เซตใดๆ จะเป็นเซตอนันต์ ก็ต่อเมื่อ จำนวนสมาชิกของเซตนั้นมากจนหาค่าไม่ได้
เช่น A={1,2,3,…}   จะได้ A เป็นเซตอนันต์

เซตว่าง 
เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิกอยู่เลย เช่น { } = 0

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซตจำนวน 
ใช้    R     แทนจำนวนจริง
Q    แทนจำนวนตรรกยะ
I    แทนจำนวนเต็ม

วิธีการเขียนเซต

• ใช้การแจกแจง     X=1,2,3   A ={1,2,3}  โดย  X ⊂ A
• เขียนแบบบอกเงื่อนไขการเขียนเซตแบบกำหนดเงื่อนไขมีวิธีการเขียนดังนี้

1.เขียนวงเล็บปีกกา
2.เขียนตัวแปร
3.เขียนสัญลักษณ์ “ | ” ตามหลังตัวแปร สัญลักษณ์ตัวนี้อ่านว่า โดยที่
4.เขียนข้อความบรรยายเงื่อนไขตัวแปร ซึ่งเป็นเงื่อนไขของการเป็นสมาชิกของเซตนั้น
5.เขียนวงเล็บปีกกาปิด
ตัวอย่างเช่น
A = {X | X เป็นจำนวนคู่บวกที่น้อยกว่า 10}
เมื่อเขียน A ในแบบแจกแจงสมาชิกจะได้ดังนี้
A ={2,4,6,8}

สับเซต
ถ้าสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B แล้ว จะเรียกว่า A เป็นสับเซตของ B จะเขียนว่า
เซต A เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A ⊂ B

ถ้าสมาชิกบางตัวของ A ไม่เป็นสมาชิกของ B จะเรียกว่า A ไม่เป็นสับเซตของ B
เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A ⊄ B
หมายเหตุ 
1. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง (A ⊂ A)
2. เซตว่าง เป็นสับเซตของทุก ๆ เซต (ø ⊂ A)
3. ถ้า A ⊂ ø แล้ว A = ø
4. ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ⊂ C
5. A = B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B และ B ⊂ A

เพาเวอร์เซต 
คำว่า เพาเวอร์เซต เป็นคำศัพท์เฉพาะ ซึ่งใช้เป็นชื่อเรียกเซตเซตหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับเรื่องสับเซต
เพาเวอร์เซตของ A  เขียนแทนด้วย  P(A)
P(A) คือเซตที่มีสับเซตทั้งหมดของ  A เป็นสมาชิก

ข้อควรรู้

• ø´ = U                 U´ = ø
• A – ø = A             ø – A = A
•  

การพิสูจน์การเท่ากันของเซต
ทำได้ 2 วิธี 1.ใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
2.ใช้สมบัติการดำเนินการบนเซต

สมบัติการดำเนินการบนเซต
สมบัติพื้นฐาน

• A∪∅ = A  ,   A∪U = U

A∩∅ = ø ,   A∩U = U

• A∪B∪C = (A∪B)∪C = A∪(B∪C) = (A∪C)∪B

A∩B∩C = (A∩B)∩C = A∩(B∩C) = (A∩C)∩B

A∪(B∩C)  = (A∪B)∩(A∪C)

A∩(B∪C)   = (A ∩B)∪(A∩C)

• (A´)´ = A    (A∪B)´ = A´∩B´

(A∩B) ´ = A´∪B´

• A-B = A∩B´

http://mathsetter.wordpress.com/%E0%B9%80%E0%B8%99%E0%B8%B7%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%AB%E0%B8%B2%E0%B8%9A%E0%B8%97%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B7%E0%B9%88%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%8B/     วันที่20 สิงหาคม 2556

ทิศทางและแผนผัง

ทิศหลักและทิศทั้งแปด
     ทิศหลักมี 4 ทิศ ทิศเหนือ ทิศใต้ ทิศตะวันออก ทิศตะวันตก
     ทิศที่อยู่กึ่งกลางระหว่างทิศหลักทั้งสี่ คือ
          - ทิศตะวันออกเฉียงเหนือ อยู่ระหว่างทิศตะวันออกกับทิศเหนือ
          - ทิศตะวันออกเฉียงใต้ อยู่ระหว่างทิศตะวันออกกับทิศใต้
          - ทิศตะวันตกเฉียงเหนือ อยู่ระหว่างทิศตะวันตกกับทิศเหนือ
          - ทิศตะวันตกเฉียงใต้ อยู่ระหว่างทิศตะวันตกกับทิศใต้
          ซึ่งแต่ละทิศทำมุม 45 องศา
จากทิศหลัก 4 ทิศและทิศย่อยอีก 4 ทิศ ยังมีชื่อเรียกทิศเหล่านี้อีกแบบ  คือ
     ทิศเหนือ (อุดร)
     ทิศตะวันออกเฉียงเหนือ (อีสาน)
     ทิศตะวันออก (บูรพา)
     ทิศตะวันออกเฉียงใต้ (อาคเนย์)
     ทิศใต้ (ทักษิณ)
     ทิศตะวันตกเฉียงใต้ (หรดี)
     ทิศตะวันตก (ประจิม)
     ทิศตะวันตกเฉียงเหนือ (พายัพ)
การบอกตำแหน่งโดยใช้ทิศ
     การบอกตำแหน่งของวัตถุหรือสิ่งของโดยการใช้ทิศว่าตำแหน่งหนึ่งอยู่ทางทิศใดของอีกตำแหน่งหนึ่งนั้น ต้องมีสัญลักษณ์ช่วยในการบอกตำแหน่ง ซึ่งสัญลักษณ์ที่นิยมใช้แทนทิศเหนือ คือ   การบอกตำแหน่งของวัตถุหรือสิ่งของโดยการใช้ทิศว่าตำแหน่งหนึ่งอยู่ทางทิศใดของอีกตำแหน่งหนึ่งนั้น ต้องมีสัญลักษณ์ช่วยในการบอกตำแหน่ง ซึ่งสัญลักษณ์ที่นิยมใช้แทนทิศเหนือ คือ น. หรือ N

ที่มาhttps://math5555.wikispaces.com/%E0%B8%97%E0%B8%B4%E0%B8%A8%E0%B9%81%E0%B8%A5%E0%B8%B0%E0%B9%81%E0%B8%9C%E0%B8%99%E0%B8%9C%E0%B8%B1%E0%B8%87    วันที่ 3 กันยายน 2556

       

 

ทฤษฎีปิทาโกรัส  1.ทฤษฎีบทของปิทาโกรัส (Pythagorean Theorem)              ถ้า ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมี มุม ACB เป็นมุมฉาก c แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก a และ b แทนความยาวด้านประกอบมุมฉาก จะได้ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก                      c2 = a2 + b2  ข้อสังเกต                     นิยมใช้ a แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม A                      นิยมใช้ b แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม B                      นิยมใช้ c แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุม C  ตัวอย่าง                      จงหาความยาวของด้านที่ 3 ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อกำหนดความยาวของด้าน 2 ด้านให้ดังต่อไปนี้                      a = 7 , b = 24 วิธีทำ                       c2 = a2 + b2                      c2= 72 + 242                     c2= 49 + 576                     c2= 625                     c2=252                   c = 25 2. บทกลับของปิทาโกรัส              ถ้า ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม มีด้านยาว a , b และ c หน่วย และ c2 = a2 + b2  จะได้ว่ารูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และมีด้านยาว c หน่วยเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก  ข้อสังเกต ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ ด้านตรงข้ามมุมฉากจะเป็นด้านที่ยาวที่สุด 3. การนำไปใช้งาน            สามารถนำทฤษฎีปิทาโกรัสไปใช้ในการแก้ปัญหาโจทย์ที่เกี่ยวกับ ความกว้าง ความยาว หรือ ความสูงของสิ่งต่าง ๆ ได้  ที่มา : http://ecurriculum.mv.ac.th/math/m1/basic/unit6/202/math3.htm   วันที่  3 กันยายน 2556

การหา(ค.ร.น)

                     

ตัวคูณร่วมน้อย หรือ ค.ร.น. (อังกฤษ: least common multiple: lcm) คือ จำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยที่สุดซึ่งนำไปหารด้วยจำนวนเต็มบวกอื่นๆ ตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป แล้วจะได้ผลลัพธ์ลงตัวพอดี หรือกล่าวอีกนัยนึง คือ เมื่อเรามีจำนวนตัวเลขอยู่กลุ่มหนึง เราต้องการหาจำนวนเต็มบวกใดๆที่น้อยที่สุด โดยที่ตัวเลขทุกตัวในกลุ่มสามารถหารจำนวนนี้ได้ลงตัว ประโยชน์ในการใช้ เช่น เวลาบวกเลขเศษส่วนโดยที่ตัวส่วนไม่เท่ากัน เราจำเป็นต้องหา ค.ร.น ของตัวส่วนทั้งสอง เพื่อปรับเลขเศษส่วนโดยการคูณทั้งเศษและส่วน และทำเหมือนกันกับเลขเศษส่วนอีกตัวนึง เพื่อให้ตัวส่วนของจำนวนทั้งสองมีค่าเท่ากัน จึงจะสามารถบวกตัวเศษกันได้ อย่างเช่น 2/12 + 1/16 , ค.ร.น ของ 12 และ 16 = 48 เท่ากับว่า ตัวแรกต้องคูณด้วย 48/12 = 4 ทั้งเศษและส่วน และตัวที่สองต้องคูณด้วย 48/16 = 3 ทั้งเศษและส่วน ดังนั้นเราจึงสามารถคำนวณการบวกของเลขเศษส่วนได้ดังนี้ (2/12) * (4/4) + (1/16) * (3/3) = 8/48 + 3/48 = 11/48

ทำได้หลายวิธี ในที่นี้จะเน้นกล่าว 3 วิธีหลักๆที่เป็นที่นิยม

วิธีที่ 1 โดยการพิจารณาพหุคูณ

เช่น เราต้องการ ค.ร.น. ของ 6 , 9 และ 18

วิธีทำ พิจารณา พหุคูณ ของ 6,9 และ 18 ได้ดังนี้

  พหุคูณของ 6 คือ 6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,...

พหุคูณของ 9 คือ 9,18,27,36,45,54,63,72,90,99,108,117,...

พหุคูณของ 18 คือ 18,36,54,72,90,108,126,144,162,180,198,216,...

• พหุคูณร่วมของ 6,9,18 คือ 18,36,72,...

• พหุคูณร่วมน้อยที่สุดของ 6,9,18 คือ 18

• ดังนั้น 18 จึงเป็น ค.ร.น. ของ 6,9 และ 18

วิธีที่ 2 แยกตัวประกอบ

เช่น เราต้องการหา ค.ร.น ของ 18 24 210

• ให้กระจายตัวประกอบออกมา

18 = 2x3x3

24 = 2x3x2x2

210 = 2x3x5x7

• จากข้างบน ทั้ง 3 บรรทัด มี 2 เหมือนกัน อยู่ 1 ตัว (ลองเขียนในกระดาษแล้ววาดวงกลมล้อมคอลัมน์แรก (แถวแรกในแนวตั้ง)) และก็มี 3 เหมือนกัน อยู่อีก 1 ตัว (คอลัมน์ที่ 2) หยิบมาคูณกัน

2x3 = 6

• นำตัวเลขที่เหลือ (ที่ไม่ได้วงกลม ในกรณีที่วาดในกระดาษตามที่แนะนำ) มาคูณต่อ ได้คำตอบของ ค.ร.น

6 (จากขั้นตอนที่แล้ว) x3x2x2x5x7 = 2520

• การหา ค.ร.น. จะต้องเอาเลขที่แตกต่างจากพวกมากที่สุดไว้หน้า เช่น 12 = 3x2x2

วิธีที่ 3 การหารสั้น

วิธีนี้ เป็นวิธีที่ง่าย เพราะบางครั้งการแยกตัวประกอบ ค่อนข้างจะคำนวณยาก โดยเฉพาะผู้ที่เพิ่งเริ่มศึกษา

• นำมาเขียนเรียงกัน โดยเว้นวรรคระหว่างจำนวนด้วย 18 24 210
• ลองไล่เอา 2 หารดูว่าลงตัวทั้งหมดไหม ถ้าไม่ลงตัว ก็เปลี่ยนเป็น 3 ลองหารทั้งหมดดู ถ้าไม่ลงตัว ก็ลองใช้ 5 ลองหารดู โดยมีวิธีไล่ลำดับตัวเลขที่ใช้จากจำนวนเฉพาะ

 2,3,5,7,11,13,17,19,...

• ทำซ้ำกับผลหารที่ได้จากข้อที่แล้ว ไปเรื่อยๆ จนไม่สามารถหารจำนวนเฉพาะมาหารได้ลงตัวอีกต่อไป
• เอาเลขที่หารที้งหมดมาคูณกันแล้วคูณกับผลหารที่เหลืออยู่ ได้คำตอบ

ดูตัวอย่างประกอบ

2  ) 18 24 210

   --------------- 

     9  12 105

ลอง 2 หารอีก

2  )  9   12 105

   ----------------

     4.5  6  52.5

จะเห็นว่าหารไม่ลงตัว เพราะหารได้ผลติดทศนิยม เปลี่ยนเลขเป็นจำนวนเฉพาะถัดไป ได้แก่ 3

3 ) 9 12 105

   ----------------

      3   4   35

ถึงตรงนี้ เราจะไม่สามารถหาจำนวนเฉพาะใดๆเพื่อมาหารได้อีกต่อไป เราจึงนำเอาเลขที่หารที้งหมดมาคูณกันแล้วคูณกับผลหารที่เหลืออยู่ ได้คำตอบ

2x3x3x4x35 = 2520

อธิบายซ้ำ : เราสามารถเขียนภาพรวมได้ดังนี้

2  ) 18 24 210

   --------------     

3  ) 9  12 105

   --------------